大型门户网站设计公司,怎么做自建站,wordpress3.0 主题,课程网站建设的步骤专栏系列文章如下#xff1a; 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第一讲——SLAM介绍 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第二讲——初识SLAM 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第三讲——旋转矩阵 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第三讲——旋转向量和欧拉角 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第三讲——四元…专栏系列文章如下 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第一讲——SLAM介绍 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第二讲——初识SLAM 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第三讲——旋转矩阵 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第三讲——旋转向量和欧拉角 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第三讲——四元数 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第三讲——Eigen库 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第四讲——李群与李代数基础 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第四讲——指数映射
BCH公式与近似形式
使用李代数的一大动机是进行优化而在优化过程中导数是非常重要的信息。虽然我们已经清楚了SO(3)和SE(3)上的李群与李代数关系但是当在SO(3)中完成两个矩阵乘法时李代数中so(3)上发生了什么改变呢反过来说当so(3)上做两个李代数的加法时SO(3)上是否对应着两个矩阵的乘积
如果成立相当于 如果ϕ_1,ϕ_2为标量那么显然该式成立但此处我们计算的是矩阵的指数函数而非标量的指数。换言之我们在研究下式是否成立 很遗憾该式在矩阵时并不成立。两个李代数指数映射乘积的完整形式由BCH公式给出。由于其完整形式较复杂我们只给出其展开式的前几项其中[ ]为李括号 上面的BCH公式告诉我们当处理两个矩阵指数之积时它们会产生一些由李括号组成的余项。特别地考虑SO(3)上的李代数ln(exp(ϕ_1^)exp(ϕ_2 ^))∨当ϕ_1或ϕ_2为小量时小量二次以上的项都可以被忽略。此时BCH拥有线性近似表达 以第一个近似为例。该式告诉我们当对一个旋转矩阵R_2李代数为ϕ_2左乘一个微小旋转矩阵R_1李代数为ϕ_1时可以近似地看作在原有的李代数ϕ_2上加上了一项J_l(ϕ_2)-1ϕ_1。同理第二个近似描述了右乘一个微小位移的情况。于是李代数在BCH近似下分成了左乘近似和右乘近似两种。而右乘雅可比仅需要对自变量取负号即可 这样我们就可以谈论李群乘法和李代数加法的关系了。为了方便理解我们重新叙述BCH近似的意义。假定对于某个旋转R对应的李代数为ϕ。我们给他左乘一个微小旋转记作ΔR对应的李代数为Δϕ。那么在李群上得到的结果就是ΔR·R而在李代数上根据BCH近似为J_l-1(ϕ) Δϕϕ。合并起来可以简单地写成 反之如果我们在李代数上进行加法让一个ϕ加上Δϕ那么可以近似为李群上带左右雅可比的乘法 这就为之后李代数上做微积分提供了理论基础。同样地对于SE(3)也有类似的BCH近似
SO(3)上的李代数求导
在SLAM中要估计一个相机的位置和姿态该位姿是由SO(3)上的旋转矩阵或SE(3)上的变换矩阵描述的。设某个时刻机器人的位姿为T它观察到了一个世界坐标位于p的点产生了一个观测数据z。由坐标变换关系知 其中w为随机噪声。由于它的存在z 往往不可能精确地满足zTp的关系。所以通常会计算理想的观测与实际数据的误差 假设一共有N个这样的路标点和观测于是就有N个上式。那么对机器人的位姿估计相当于是寻找一个最优的T使得整体误差最小化 求解此问题需要计算目标函数J关于变换矩阵T的导数。重点是构建与位姿有关的函数讨论该函数关于位姿的导数以调整当前的估计值。然而SO(3),SE(3)上并没有良好定义的加法它们是群。如果把T当成一个普通矩阵来处理优化那就必须对它加以约束旋转矩阵的约束是行列式值唯一计算复杂。而从李代数角度来说由于李代数由向量组成具有良好的加法运算。
因此使用李代数解决求导问题的思路分为两种 用李代数表示姿态然后根据李代数加法来对李代数求导。 对李群左乘或右乘微小扰动然后对该扰动求导称为左扰动和右扰动模型。
第一种方式对应到李代数的求导模型而第二种则对应到扰动模型。
李代数求导
首先考虑SO(3)上的情况。假设对一个空间点p进行了旋转得到了Rp。计算旋转之后点的坐标相对于旋转的导数我们非正式地记为 由于SO(3)没有加法所以该导数无法按照导数的定义进行计算。设R对应的李代数为ϕ转而计算 按照导数的定义推导出了旋转后的点相对于李代数的导数 不过由于这里仍然含有形式比较复杂的雅可比式我们不太希望计算它。而下面的扰动模型则提供了更简单的导数计算方式。
扰动模型左乘
另一种求导方式是对R进行一次扰动ΔR看结果相对于扰动的变化率。这个扰动可以乘在左边也可以乘在右边最后结果会有一点微小的差异我们以左扰动为例。设左扰动ΔR对应的李代数为φ。然后对φ求导即 相比于直接对李代数求导省去了一个雅可比矩阵的计算。这使得扰动模型更为实用在位姿估计当中具有重要的意义。
SE(3)上的李代数求导
最后我们给出SE(3)上的扰动模型而直接李代数上的求导就不再介绍了。假设某空间点p经过一次变换T对应李代数为ξ得到TP。
现在给T左乘一个扰动∆T exp(δξ∧)设扰动项的李代数为 δξ [δρ,δϕ]T那么 我们把最后的结果定义成一个算符它把一个齐次坐标的空间点变换成一个4×6的矩阵。
