南昌网站建设工作,什么是移动网站开发,不用付费就可以看亏亏的app,一些网站是用什么颜色做的一、向量的基础知识
两个独立的数字 v 1 v_1 v1 和 v 2 v_2 v2#xff0c;将它们配对可以产生一个二维向量 v \boldsymbol{v} v#xff1a; 列向量 v v [ v 1 v 2 ] v 1 v 的第一个分量 v 2 v 的第二个分量 \textbf{列向量}\,\boldsymbol v\kern 10pt\boldsymbol …一、向量的基础知识
两个独立的数字 v 1 v_1 v1 和 v 2 v_2 v2将它们配对可以产生一个二维向量 v \boldsymbol{v} v 列向量 v v [ v 1 v 2 ] v 1 v 的第一个分量 v 2 v 的第二个分量 \textbf{列向量}\,\boldsymbol v\kern 10pt\boldsymbol v\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}\kern 10pt\begin{matrix}v_1\boldsymbol v\,的第一个分量\\v_2\boldsymbol v\,的第二个分量\end{matrix} 列向量vv[v1v2]v1v的第一个分量v2v的第二个分量这里将 v \boldsymbol v v 写成一列column而不是一行row单一的字母 v \boldsymbol v v粗斜体字表示这一对数字 v 1 v_1 v1 与 v 2 v_2 v2浅色斜体字。 向量的一个基础运算是向量的加法即将两个向量的每个分量分别相加 向量加法 v [ v 1 v 2 ] 与 w [ w 1 w 2 ] 相加得到 v w [ v 1 w 1 v 2 w 2 ] \textbf{向量加法}\kern 10pt\boldsymbol v\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}\kern 5pt与\kern 5pt\boldsymbol w\begin{bmatrix}w_1\\w_2\end{bmatrix}\kern 5pt相加得到\kern5pt\boldsymbol v\boldsymbol w\begin{bmatrix}v_1w_1\\v_2w_2\end{bmatrix} 向量加法v[v1v2]与w[w1w2]相加得到vw[v1w1v2w2]减法同理 v − w \boldsymbol v-\boldsymbol w v−w 的分量是 v 1 − w 1 v_1-w_1 v1−w1 与 v 2 − w 2 v_2-w_2 v2−w2。 向量的另一个基础运算是数乘scalar multiplication一个向量可以和任意数 c c c 相乘就是用 c c c 去乘这个向量的每个分量 数乘 2 v [ 2 v 1 2 v 2 ] v v − v [ − v 1 − v 2 ] \textbf{数乘}\kern 10pt2\boldsymbol v\begin{bmatrix}2v_1\\2v_2\end{bmatrix}\boldsymbol v\boldsymbol v-\boldsymbol v\begin{bmatrix}-v_1\\-v_2\end{bmatrix} 数乘2v[2v12v2]vv−v[−v1−v2] c v c\boldsymbol v cv 的分量是 c v 1 cv_1 cv1 与 c v 2 cv_2 cv2数字 c c c 称为 “数量”或纯量 scalar。 需要注意的是 − v -\boldsymbol v −v 与 v \boldsymbol v v 的和sum是零向量以粗体 0 \boldsymbol 0 0 表示与一般的数字 0 0 0 不同向量 0 \boldsymbol 0 0 的分量是 0 0 0 与 0 0 0。 线性代数就是建立在 v w \boldsymbol v\boldsymbol w vw 与 c v c\boldsymbol v cv 与 d w d\boldsymbol w dw 的运算 —— 向量的加法与数乘。
二、线性组合
将向量的加法与数乘相结合可以产生 v \boldsymbol v v 与 w \boldsymbol w w 的 “线性组合”。用 c c c 乘 v \boldsymbol v v 与 d d d 乘 w \boldsymbol w w然后相加得到 c v d w c\boldsymbol vd\boldsymbol w cvdw。 c v 与 d w 的和是 线性组合 c v d w c\boldsymbol v\,与\,d\boldsymbol w\,的和是\kern 10pt\colorbox{cyan}{$线性组合\,\ c\boldsymbol vd\boldsymbol w$} cv与dw的和是线性组合 cvdw四种特殊的线性组合和、差、零、数乘 c v c\boldsymbol v cv 1 v 1 w 向量的和如图 1.1 a 1\boldsymbol v1\boldsymbol w向量的和如图1.1a 1v1w向量的和如图1.1a 1 v − 1 w 向量的差如图 1.1 b 1\boldsymbol v-1\boldsymbol w向量的差如图1.1b 1v−1w向量的差如图1.1b 0 v 0 w 零向量 0\boldsymbol v0\boldsymbol w\textbf{零向量}\kern 56pt 0v0w零向量 c v 0 w 沿着 v 方向的向量 c v c\boldsymbol v0\boldsymbol w沿着\,\boldsymbol v 方向的向量\,c\boldsymbol v cv0w沿着v方向的向量cv零向量永远是可能的组合只要系数都为零向量的 “空间” 都包含零向量。从大局上看线性代数的工作就是取得 v \boldsymbol v v 和 w \boldsymbol w w 所有的线性组合。 对于代数来说我们只需要向量的分量如 4 4 4 和 2 2 2。向量也可以画在图形上向量 v \boldsymbol v v 由箭头表示箭头向右横跨 v 1 4 v_14 v14 个单位再往上走 v 2 2 v_22 v22 个单位终点的坐标等于 ( 4 , 2 ) (4,2) (4,2)。这个点就是向量的另外一种表示法。向量 v \boldsymbol v v 可以用三种方式来描述 向量 v 的表示法 两个数字 由 ( 0 , 0 ) 出发的箭头 平面上的点 向量\,\boldsymbol v\,的表示法\kern 10pt\colorbox{cyan}{两个数字}\,\,\colorbox{cyan}{由$(0,0)$出发的箭头}\,\,\colorbox{cyan}{平面上的点} 向量v的表示法两个数字由(0,0)出发的箭头平面上的点我们用数字做加法用箭头可视化 v w \boldsymbol v\boldsymbol w vw 先沿着 v \boldsymbol v v 再沿着 w \boldsymbol w w 前进或者沿着 v w \boldsymbol v\boldsymbol w vw 走对角线也可以先沿着 w \boldsymbol w w 再沿着 v \boldsymbol v v。换言之 w v \boldsymbol w\boldsymbol v wv 与 v w \boldsymbol v\boldsymbol w vw 的答案相同。沿着平行四边形本例是矩形存在不同的前进方向。
三、三维向量
有两个分量的向量对应到 x y xy xy 平面上的一个点 v \boldsymbol v v 的分量就是点的坐标 x v 1 xv_1 xv1 y v 2 yv_2 yv2。向量从 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 出发箭头在 ( v 1 v 2 ) (v_1v_2) (v1v2) 结束。 如果向量有三个分量那么就对应三维的 x y z xyz xyz 空间中的一点。下面的列向量就有三个分量 v [ 1 1 − 1 ] w [ 2 3 4 ] v w [ 3 4 3 ] \boldsymbol v\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}\boldsymbol w\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix}\boldsymbol v\boldsymbol w\begin{bmatrix}3\\4\\3\end{bmatrix} v 11−1 w 234 vw 343 向量 v \boldsymbol v v 对应到三维空间的一个箭头通常由原点出发原点即 x y z xyz xyz 轴的交点其坐标为 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) (0,0,0)箭头的终点坐标是 v 1 v_1 v1 v 2 v_2 v2 v 3 v_3 v3。三维向量同样有三种表示方式列向量原点出发的箭头与箭头的终点空间中一点。 注意平面向量 ( x , y ) (x,y) (x,y) 与三维空间的 ( x , y , 0 ) (x,y,0) (x,y,0) 是不同的。 v [ 1 1 − 1 ] 也可以写成 v ( 1 , 1 , − 1 ) \boldsymbol v\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}\,\,也可以写成\,\,\boldsymbol v(1,1,-1) v 11−1 也可以写成v(1,1,−1)写成行形式在括号中是为了节省空间但是 v ( 1 , 1 , − 1 ) \boldsymbol v(1,1,-1) v(1,1,−1) 不是行向量它仍是列向量与行向量 [ 1 1 − 1 ] [1\kern 6pt1\,-1] [11−1] 是不同的尽管它们都具有三个分量。这里 1 × 3 1\times3 1×3 的行向量是 3 × 1 3\times1 3×1 的列向量 v \boldsymbol v v 的 “转置”transpose。 三维空间中 v w \boldsymbol v\boldsymbol w vw 仍然是每次计算一个分量向量的和的分量是 v 1 w 1 v_1w_1 v1w1 v 2 w 2 v_2w_2 v2w2 和 v 3 w 3 v_3w_3 v3w3同理可以推出 4 4 4 维直至 n n n 维空间中向量的加法。当 w \boldsymbol w w 从 v \boldsymbol v v 的终点出发则第三边为 v w \boldsymbol v\boldsymbol w vw平行四边形的另一个环绕方向是 w v \boldsymbol w\boldsymbol v wv。这四个边是在同一平面的向量的和 v w − v − w \boldsymbol v\boldsymbol w-\boldsymbol v-\boldsymbol w vw−v−w 走完一圈产生零向量。 三维空间三个向量的线性组合 u 4 v − 2 w \boldsymbol u4\boldsymbol v-2\boldsymbol w u4v−2w分别用 1 1 1 4 4 4 − 2 -2 −2 乘三个向量再相加的线性组合 [ 1 0 3 ] 4 [ 1 2 1 ] − 2 [ 2 3 − 1 ] [ 1 2 9 ] \begin{bmatrix}1\\0\\3\end{bmatrix}4\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}2\\3\\-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\\9\end{bmatrix} 103 4 121 −2 23−1 129
四、重要问题
一个向量 u \boldsymbol u u唯一的线性组合是 c u c\boldsymbol u cu。对于两个向量线性组合是 c u d v c\boldsymbol ud\boldsymbol v cudv。对于三个向量线性组合是 c u d v e w c\boldsymbol ud\boldsymbol ve\boldsymbol w cudvew。对于每个 c c c、 d d d、 e e e假设 u \boldsymbol u u v \boldsymbol v v w \boldsymbol w w 是三维空间中的向量 1所有 c u c\boldsymbol u cu 的组合图形是什么 2所有 c u d v c\boldsymbol ud\boldsymbol v cudv 的组合图形是什么 3所有 c u d v e w c\boldsymbol ud\boldsymbol ve\boldsymbol w cudvew 的组合图形是什么 上述的答案都与 u \boldsymbol u u、 v \boldsymbol v v、 w \boldsymbol w w 有关若它们均为零向量所有的线性组合都是零。如果它们都是典型的非零向量随机选定分量即它们两两不平行三个向量不共面 1所有 c u c\boldsymbol u cu 的组合形成一条过原点0,0,0的直线。 2所有的 c u d v c\boldsymbol ud\boldsymbol v cudv 的组合形成一个 过0,0,0的平面。 3所有的 c u d v e w c\boldsymbol ud\boldsymbol ve\boldsymbol w cudvew 的组合形成三维空间。 因为当 c c c 为 0 0 0 时零向量 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) (0,0,0) 会在直线上当 c c c 与 d d d 都为 0 0 0 时零向量会在平面上。向量 c u c\boldsymbol u cu 形成的直线是无限长正向与反向的三维空间中两个向量的组合全部 c u d v c\boldsymbol ud\boldsymbol v cudv 会形成三维空间内一个平面且过原点一条直线上的所有 c u c\boldsymbol u cu 加上另一条直线上的所有 d v d\boldsymbol v dv 就会形成 Figure1.3 所示的平面。 当引入第三个向量 w \boldsymbol w w 时所有的 e w e\boldsymbol w ew 会得到第三条直线。假设第三条直线不在 u \boldsymbol u u 与 v \boldsymbol v v 形成的平面上则 e w e\boldsymbol w ew 与 c u d v c\boldsymbol ud\boldsymbol v cudv 的组合可以形成整个三维空间。 典型情况下我们会得到线、面、然后空间但是还会有其它可能的情况。若 w \boldsymbol w w 正好等于 c u d v c\boldsymbol ud\boldsymbol v cudv 时即第三个向量 w \boldsymbol w w 在前两个向量所形成的平面上那么 u \boldsymbol u u v \boldsymbol v v w \boldsymbol w w 的组合仍然会在 u v \boldsymbol{uv} uv 平面内也就不能得到整个三维空间。
五、主要内容总结
1二维空间的向量 v \boldsymbol v v 由两个分量 v 1 v_1 v1 和 v 2 v_2 v2。 2 v w ( v 1 w 1 , v 2 w 2 ) \boldsymbol v\boldsymbol w(v_1w_1,v_2w_2) vw(v1w1,v2w2) c v ( c v 1 , c v 2 ) c\boldsymbol v(cv_1,cv_2) cv(cv1,cv2)每次计算一个分量。 3三个向量 u \boldsymbol u u v \boldsymbol v v w \boldsymbol w w 的线性组合是 c u d v e w c\boldsymbol ud\boldsymbol ve\boldsymbol w cudvew。 4选取所有的 u \boldsymbol u u 或 u \boldsymbol u u v \boldsymbol v v 或 u \boldsymbol u u v \boldsymbol v v w \boldsymbol w w 的线性组合在三维空间中典型情况下会形成一条直线或一个平面或整个空间 R 3 \textbf R^3 R3。
六、例题
【例1】 v ( 1 , 1 , 0 ) \boldsymbol v(1,1,0) v(1,1,0) 和 w ( 0 , 1 , 1 ) \boldsymbol w(0,1,1) w(0,1,1) 的线性组合会形成 R 3 \textbf R^3 R3 中的一个平面描述这个平面并找到一个不是 v \boldsymbol v v 与 w \boldsymbol w w 线性组合的向量即不在该平面上的向量。 解 v \boldsymbol v v 与 w \boldsymbol w w 所形成的平面包含所有的组合 c v d w c\boldsymbol vd\boldsymbol w cvdw该平面上的向量允许任意和 c c c 和 d d d。 线性组合 c v d w c [ 1 1 0 ] d [ 0 1 1 ] [ c c d d ] 形成一个平面 线性组合\kern 3ptc\boldsymbol vd\boldsymbol wc\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}d\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\\cd\\d\end{bmatrix}\kern 3pt形成一个平面 线性组合cvdwc 110 d 011 ccdd 形成一个平面可以发现其第二分量 c d cd cd 为第一分量与第三分量之和。 ( 1 , 2 , 3 ) (1,2,3) (1,2,3) 即不在这个平面上这是因为 2 ≠ 1 3 2\neq13 213。
【例2】 v ( 1 , 0 ) \boldsymbol v(1,0) v(1,0) 与 w ( 0 , 1 ) \boldsymbol w(0,1) w(0,1)描述所有的 c v c\boldsymbol v cv 点。 1当 c c c 为任意整数时 2当 c c c 非负数时 c ≥ 0 c\geq0 c≥0。 再将12得到的 c v c\boldsymbol v cv 加上所有的 d w d\boldsymbol w dw描述所有的 c v d w c\boldsymbol vd\boldsymbol w cvdw。 解1当 c c c 为任意整数时向量 c v ( c , 0 ) c\boldsymbol v(c,0) cv(c,0) 是沿着 x x x 轴 v \boldsymbol v v 的方向的等距点包含 ( − 2 , 0 ) (-2,0) (−2,0) ( − 1 , 0 ) (-1,0) (−1,0) ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0) ( 2 , 0 ) (2,0) (2,0)。 2当 c ≥ 0 c\geq0 c≥0 时向量 c v c\boldsymbol v cv 形成一条半线即 x x x 正半轴。这条线从 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 开始此时 c 0 c0 c0。包含点 ( 100 , 0 ) (100,0) (100,0) 与 ( π , 0 ) (π,0) (π,0)但不包含 ( − 100 , 0 ) (-100,0) (−100,0)。 1’加上所有的向量 d w ( 0 , d ) d\boldsymbol w(0,d) dw(0,d)会在这些等距点 c v c\boldsymbol v cv 上放置一条垂直vertical线将会得到无数条全部整数 c c c任意的 d d d平行线。 2’加上所有的向量 d w ( 0 , d ) d\boldsymbol w(0,d) dw(0,d)会在半线上的每一个 c v c\boldsymbol v cv 上放置一条垂直线将会得到一个半平面 x y xy xy 平面的右半部分包括任意的 x ≥ 0 x\geq0 x≥0 和任意的 y y y。
【例3】求出 c c c 和 d d d 的两个方程使得线性组合 c v d w b c\boldsymbol vd\boldsymbol w\boldsymbol b cvdwb v [ 2 − 1 ] w [ − 1 2 ] b [ 1 0 ] \boldsymbol v\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\boldsymbol w\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\boldsymbol b\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} v[2−1]w[−12]b[10] 解 在应用数学中很多问题都有两个部分
建模modeling部分利用一些方程式来表述问题。计算computational部分利用快速且正确的算法求解方程组。
这里仅讨论第一部分使用方程组表示。这里可以使用一个线性代数的基础模型 求 n 个数值 c 1 , ⋯ , c n 使得 c 1 v ⋯ c n v n b 求\,n\,个数值\,c_1,\cdots,c_n使得\,\,c_1\boldsymbol v\cdots c_n\boldsymbol v_n\boldsymbol b 求n个数值c1,⋯,cn使得c1v⋯cnvnb当 n 2 n2 n2 时即为此例题的模型。 向量方程式 c v d w c [ 2 − 1 ] d [ − 1 2 ] [ 1 0 ] 向量方程式 \kern 4ptc\boldsymbol vd\boldsymbol w\kern 10ptc\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}d\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} 向量方程式cvdwc[2−1]d[−12][10]可以得到两个一般方程式 { 2 c − d 1 − c 2 d 1 \left\{\begin{matrix}2c-d1\\-c2d1\end{matrix}\right. {2c−d1−c2d1每个方程式产生一条直线两条直线相交可以解得 c 2 / 3 c2/3 c2/3 d 1 / 3 d1/3 d1/3。
