建站之星app,黄骅港海边景点,可以做物理题的网站,网站方案书什么东西微分几何和微分流形的书上经常提到“正则曲线”和“正则曲面”。其实英文书中写作”Regular Curve“和”Regular Surface“#xff0c;让人一眼能够了解其大意#xff08;这也是我更偏向看英文原版书的原因#xff09;。我就想#xff0c;数学家为啥不翻译成”规则曲线“和…微分几何和微分流形的书上经常提到“正则曲线”和“正则曲面”。其实英文书中写作”Regular Curve“和”Regular Surface“让人一眼能够了解其大意这也是我更偏向看英文原版书的原因。我就想数学家为啥不翻译成”规则曲线“和”规则曲面“呢难道是为了更进一步提高数学的门槛言归正传我们来看看Regular Curve和Regular Surface的真正的数学含义。参考Manfredo P. do Carmo的《Differential Geometry of Curves and Surfaces》Regular Curve我们学习微积分的时候已经知道了”连续“以及”可微“的概念所谓可微就是函数连续的前提下左导数等于右导数。在微分几何中一条参数化可微曲线可以作如下定义一条参数化的可微曲线是定义在一个开区间上的可微映射 其中 。举例1直线 它在开区间 可微举例2圆 在开区间 上可微。举例3 可微需要注意的是在 处 是一个奇点所以此曲线不是一条正则曲线稍后解释如下图举例4折线 , 不是一条可微曲线因为在t 0处函数不可微。举例5自相交曲线 , 是一条可微曲线其中 也就是说曲线在00并不是一对一关系。但它依然是一条正则曲线稍后解释。总结一下正则曲线Regular Curve的定义一条参数化的可微曲线 为正则曲线需要满足的条件是对于任何 , 。也就是说正则曲线在满足连续可微条件之外必须保证每一处的切向量不为0。2. Regular Surface对于曲面首先我们知道曲面是一个二维到三维的映射用数学的语言描述一下就是 , 那么我们如何定义一个正则曲面呢我们可以这样想过曲面上一点P有无数条在此曲面上的曲线这些曲线在P的邻域内都是正则曲线连续可微有非0切向量并且在这些曲线在P的邻域内不会自相交记住正则曲线不能保证曲线不会自相交哦那么这个P点就是曲面上的正则点如果曲面上所有的点都是正则点那么这个曲面就是正则曲面下面我们用数学的语言来描述一下正则曲面1曲面的映射 , 是任意阶连续可微的可以想象过曲面P点的所有曲线都是无穷阶连续可微的曲线 ,我们可以写成其中 , , 有任意阶的连续偏导。2 曲面的映射 , 是同胚映射homomorphism可以参看维基百科的https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E8%83%9A 同胚指的是满足单射、满射、连续并且逆连续。同胚保证了U和V之间元素的一对一关系避免了自相交。3对于任意的 , 是 一对一映射。关于 ,可以出门左转看我的这篇文章AllandF 的本质 雅可比矩阵zhuanlan.zhihu.com这里的一对一映射指的是对于 如果 那么 。第1条的作用是保证了曲面没有尖点没有尖边第2条的作用是保证了曲面没有自相交第3条的作用比较none-trival它的作用是保证曲面上的每点都有切平面下面详细解释一下。我们知道 要保证有切平面就需要 和 非线性相关然后切平面上的任何向量都是 和 的线性组合。
