网站开发人员 组织架构,建设地区网站建议,建设网站困难的解决办法,桂林象鼻山附近酒店推荐brz的函数 ∑i1n∑j1nμ(ij)假设i,j不互质#xff0c;一定有μ(ij)0所以上式∑i1n∑j1nμ(ij)[gcd(i,j)1]积性函数性质有μ(ij)μ(i)μ(j)∑i1n∑j1nμ(i)μ(j)[gcd(i,j)1]∑i1n∑j1nμ(i)μ(j)∑d∣gcd(i,j)μ(d)这里我们按照套路把d给提前去#xff0c;因为i,j都要是d的倍数…brz的函数
∑i1n∑j1nμ(ij)假设i,j不互质一定有μ(ij)0所以上式∑i1n∑j1nμ(ij)[gcd(i,j)1]积性函数性质有μ(ij)μ(i)μ(j)∑i1n∑j1nμ(i)μ(j)[gcd(i,j)1]∑i1n∑j1nμ(i)μ(j)∑d∣gcd(i,j)μ(d)这里我们按照套路把d给提前去因为i,j都要是d的倍数所以我们直接枚举Iid,Jjd∑d1nμ(d)∑I1ndμ(Id)∑J1ndμ(Jd)为了方便这里iI,jJ∑d1nμ(d)∑i1ndμ(id)∑j1ndμ(jd)设f(n,d)∑i1ndμ(id)原式∑d1nμ(d)f(n,d)2接下来考虑如何求解f(n,d),不难发现对于每一个f(n,d)其有贡献都是一个区间的形式也就是f(l,d)f(r,d)[lr]所以这里我们就可以利用前缀和的思想来得到答案。\sum_{i 1} ^{n} \sum_{j 1} ^{n} \mu(ij)\\ 假设i, j不互质一定有\mu(ij) 0\\ 所以上式 \sum_{i 1} ^{n} \sum_{j 1} ^{n} \mu(ij)[gcd(i, j) 1]\\ 积性函数性质有\mu(ij) \mu(i) \mu(j)\\ \sum_{i 1} ^{n} \sum_{j 1} ^{n} \mu(i) \mu(j)[gcd(i, j) 1]\\ \sum_{i 1} ^{n} \sum_{j 1} ^{n} \mu(i) \mu(j) \sum_{d \mid gcd(i, j)} \mu(d)\\ 这里我们按照套路把d给提前去因为i, j都要是d的倍数所以我们直接枚举I \frac{i}{d},J \frac{j}{d}\\ \sum_{d 1} ^{n} \mu(d) \sum_{I 1} ^{\frac{n}{d}} \mu(Id) \sum_{J 1} ^{\frac{n}{d}} \mu(Jd)\\ 为了方便这里i I, j J\\ \sum_{d 1} ^{n} \mu(d) \sum_{i 1} ^{\frac{n}{d}}\mu(id) \sum_{j 1} ^{\frac{n}{d}} \mu(jd)\\ 设f(n, d) \sum_{i 1} ^{\frac{n}{d}} \mu(id)\\ 原式 \sum_{d 1} ^{n} \mu(d)f(n,d) ^ 2\\ 接下来考虑如何求解f(n, d),\\ 不难发现对于每一个f(n, d)其有贡献都是一个区间的形式\\ 也就是f(l, d) f(r,d)[l r]\\ 所以这里我们就可以利用前缀和的思想来得到答案。 i1∑nj1∑nμ(ij)假设i,j不互质一定有μ(ij)0所以上式i1∑nj1∑nμ(ij)[gcd(i,j)1]积性函数性质有μ(ij)μ(i)μ(j)i1∑nj1∑nμ(i)μ(j)[gcd(i,j)1]i1∑nj1∑nμ(i)μ(j)d∣gcd(i,j)∑μ(d)这里我们按照套路把d给提前去因为i,j都要是d的倍数所以我们直接枚举Idi,Jdjd1∑nμ(d)I1∑dnμ(Id)J1∑dnμ(Jd)为了方便这里iI,jJd1∑nμ(d)i1∑dnμ(id)j1∑dnμ(jd)设f(n,d)i1∑dnμ(id)原式d1∑nμ(d)f(n,d)2接下来考虑如何求解f(n,d),不难发现对于每一个f(n,d)其有贡献都是一个区间的形式也就是f(l,d)f(r,d)[lr]所以这里我们就可以利用前缀和的思想来得到答案。
/*Author : lifehappy
*/
#include bits/stdc.husing namespace std;const int N 5e4 10;int prime[N], mu[N], ans[N], cnt, n;bool st[N];void init() {mu[1] 1;for(int i 2; i N; i) {if(!st[i]) {prime[cnt] i;mu[i] -1;}for(int j 1; j cnt 1ll * i * prime[j] N; j) {st[i * prime[j]] 1;if(i % prime[j] 0) {break;}mu[i * prime[j]] -mu[i];}}for(int d 1; d N; d) {int res 0;for(int l d; l N; l d) {int r l d - 1;r min(r, N - 2);res mu[l];ans[l] mu[d] * res * res;ans[r 1] - mu[d] * res * res;}}for(int i 1; i N; i) {ans[i] ans[i - 1];}
}int main() {// freopen(in.txt, r, stdin);// freopen(out.txt, w, stdout);// ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);init();int T;scanf(%d, T);while(T--) {scanf(%d, n);printf(%d\n, ans[n]);}return 0;
}
