现货做网站,售后服务网点建设是指网站,南昌企业制作网站设计,湖北省建设交易协会网站首先#xff0c;假设存在两个不同的聚类假设 f 1 f^1 f1和 f 2 f^2 f2#xff0c;它们在两个视角上的聚类结果分别为 y 1 ∈ { − 1 , 1 } n y^1\in\{-1,1\}^n y1∈{−1,1}n和 y 2 ∈ { − 1 , 1 } n y^2\in\{-1,1\}^n y2∈{−1,1}n。
证明一致性不等式#xff1a;
…首先假设存在两个不同的聚类假设 f 1 f^1 f1和 f 2 f^2 f2它们在两个视角上的聚类结果分别为 y 1 ∈ { − 1 , 1 } n y^1\in\{-1,1\}^n y1∈{−1,1}n和 y 2 ∈ { − 1 , 1 } n y^2\in\{-1,1\}^n y2∈{−1,1}n。
证明一致性不等式
P ( f 1 ≠ f 2 ) ≥ max { P e r r ( f 1 ) , P e r r ( f 2 ) } P(f^1\ne f^2)\ge\max\{P_{\mathrm{err}}(f^1), P_{\mathrm{err}}(f^2)\} P(f1f2)≥max{Perr(f1),Perr(f2)}
其中 P e r r ( f ) P_{\mathrm{err}}(f) Perr(f)表示假设 f f f的误差概率即
P e r r ( f ) E ( x , y ) ∼ D [ f ( x ) ≠ y ] P_{\mathrm{err}}(f)\mathbb{E}_{(x,y)\sim D}[f(x)\ne y] Perr(f)E(x,y)∼D[f(x)y]
其中 ( x , y ) (x,y) (x,y)表示数据点和其标签 D D D表示数据的分布。假设我们从 D D D中采样 m m m个数据点 ( x 1 , y 1 ) , … , ( x m , y m ) (x_1,y_1),\ldots,(x_m,y_m) (x1,y1),…,(xm,ym)构成训练集 S { ( x 1 , y 1 ) , … , ( x m , y m ) } S\{(x_1,y_1),\ldots,(x_m,y_m)\} S{(x1,y1),…,(xm,ym)}。
使用训练集 S S S学习得到聚类假设 f S f_S fS我们定义训练误差 P e r r ( f S ) P_{\mathrm{err}}(f_S) Perr(fS)为
P e r r ( f S ) 1 m ∑ i 1 m 1 ( f S ( x i ) ≠ y i ) P_{\mathrm{err}}(f_S)\frac{1}{m}\sum_{i1}^m\mathbf{1}(f_S(x_i)\ne y_i) Perr(fS)m1i1∑m1(fS(xi)yi)
其中 1 ( A ) \mathbf{1}(A) 1(A)表示当命题 A A A为真时取值为 1 1 1否则取值为 0 0 0。
然后定义一个指示器函数 I ( S ) I(S) I(S)来判断训练误差是否落在某个区间之内。具体来说对于给定的常数 δ ≥ 0 \delta\ge 0 δ≥0和 ϵ 0 \epsilon0 ϵ0我们定义
I ( S ) { 1 if P e r r ( f S ) − P e r r ( f ) ϵ 0 otherwise I(S)\begin{cases} 1\text{if }P_{\mathrm{err}}(f_S)-P_{\mathrm{err}}(f)\epsilon\\ 0\text{otherwise} \end{cases} I(S){10if Perr(fS)−Perr(f)ϵotherwise
其中 f f f表示最优聚类假设即
f a r g m i n g ∈ { − 1 , 1 } n P e r r ( g ) f\mathrm{argmin}_{g\in\{-1,1\}^n}P_{\mathrm{err}}(g) fargming∈{−1,1}nPerr(g)
接下来我们定义两个独立的随机变量序列 X 1 1 , X 2 1 , … , X n 1 X_1^1,X_2^1,\ldots,X_n^1 X11,X21,…,Xn1和 X 1 2 , X 2 2 , … , X n 2 X_1^2,X_2^2,\ldots,X_n^2 X12,X22,…,Xn2它们分别表示假设 f 1 f^1 f1和 f 2 f^2 f2在两个视角上的聚类结果是否相同。
每个随机变量的取值为 0 0 0或 1 1 1其中 1 1 1表示相同 0 0 0表示不相同。
然后定义
X i j { 1 if y i 1 y i 2 0 otherwise X_i^j\begin{cases} 1\text{if }y_i^1y_i^2\\ 0\text{otherwise} \end{cases} Xij{10if yi1yi2otherwise
利用Hoeffding不等式来估计随机变量 X i j X_i^j Xij的样本平均值与其期望之间的差异。根据Hoeffding不等式对于任意 ϵ 0 \epsilon0 ϵ0有
P ( ∣ 1 n ∑ i 1 n X i j − E [ X i j ] ∣ ϵ ) ≤ 2 exp ( − 2 n ϵ 2 ) P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i1}^nX_i^j-\mathbb{E}[X_i^j]\right|\epsilon\right)\le 2\exp(-2n\epsilon^2) P( n1i1∑nXij−E[Xij] ϵ)≤2exp(−2nϵ2)
注意到 E [ X i j ] P ( y i 1 y i 2 ) \mathbb{E}[X_i^j]P(y_i^1y_i^2) E[Xij]P(yi1yi2)这个概率可以通过样本外估计得到。
事实上假设从分布 D D D中采样 m m m个独立同分布的数据点 ( x 1 , y 1 ) , … , ( x m , y m ) (x_1,y_1),\ldots,(x_m,y_m) (x1,y1),…,(xm,ym)构成验证集 V { ( x 1 , y 1 ) , … , ( x m , y m ) } V\{(x_1,y_1),\ldots,(x_m,y_m)\} V{(x1,y1),…,(xm,ym)}则相同的概率可以估计为
P ^ ( y i 1 y i 2 ) 1 m ∑ i 1 m 1 ( y i 1 y i 2 ) \hat{P}(y_i^1y_i^2)\frac{1}{m}\sum_{i1}^m\mathbf{1}(y_i^1y_i^2) P^(yi1yi2)m1i1∑m1(yi1yi2)
在估计 P ^ ( y i 1 y i 2 ) \hat{P}(y_i^1y_i^2) P^(yi1yi2)时通过将训练得到的聚类结果应用到验证集 V V V上来进行。
具体来说对于每一个数据点 ( x i , y i ) ∈ V (x_i,y_i)\in V (xi,yi)∈V我们选择 f 1 ( x i ) f^1(x_i) f1(xi)和 f 2 ( x i ) f^2(x_i) f2(xi)中相同的那一个作为其聚类结果然后计算相同的数据点占比。
注意到由于是将训练得到的聚类结果应用到验证集上因此估计出来的 P ^ ( y i 1 y i 2 ) \hat{P}(y_i^1y_i^2) P^(yi1yi2)实际上是有偏的即估计结果的期望不等于真实值但是可以证明这个偏差是可以控制的。
不难发现当 n n n充分大时两个随机变量序列的样本平均值与其期望之间的差异会逐渐变小即 ∣ 1 n ∑ i 1 n X i j − E [ X i j ] ∣ \left|\frac{1}{n}\sum_{i1}^nX_i^j-\mathbb{E}[X_i^j]\right| n1∑i1nXij−E[Xij] 的概率收敛于 0 0 0。
同时当训练误差与最优误差之差 Δ P e r r ( f S ) − P e r r ( f ) \DeltaP_{\mathrm{err}}(f_S)-P_{\mathrm{err}}(f) ΔPerr(fS)−Perr(f)大于 ϵ \epsilon ϵ时指示器函数 I ( S ) I(S) I(S)的取值为 1 1 1否则为 0 0 0。因此我们可以将一致性不等式表示为
P ( X − f 1 ≠ X − f 2 ) ≥ max { 1 2 exp ( − 2 n ϵ 2 ) − Δ , P e r r ( f 1 ) − P e r r ( f 2 ) − 2 ϵ } P(X-f^1\ne X-f^2)\ge\max\left\{\frac{1}{2}\exp(-2 n \epsilon^2)-\Delta, P_{\mathrm{err}}(f^1)-P_{\mathrm{err}}(f^2)-2\epsilon\right\} P(X−f1X−f2)≥max{21exp(−2nϵ2)−Δ,Perr(f1)−Perr(f2)−2ϵ}
其中 Δ P e r r ( f S ) − P e r r ( f ) \DeltaP_{\mathrm{err}}(f_S)-P_{\mathrm{err}}(f) ΔPerr(fS)−Perr(f)表示训练误差与最优误差之差 ϵ \epsilon ϵ是控制误差幅度的常数。这个不等式就是我们想要证明的一致性不等式。
