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news 2025/10/13 6:47:30

网站推广方式的策划,wordpress 目录页,网站内容编辑,wordpress媒体文件隔离B 树和红黑树的动画小吴还在制作当中，比想象中的复杂好多好多好多，今天先来一个图解版的 B 树。。。1 引言数据库的增删改查等操作是开发过程中最为常见也是尤为重要的，尤其是现在大数据的兴起，导致数据存储量急剧增加&#xff0c…

B 树和红黑树的动画小吴还在制作当中，比想象中的复杂好多好多好多，今天先来一个图解版的 B 树。。。

1 引言

数据库的增删改查等操作是开发过程中最为常见也是尤为重要的，尤其是现在大数据的兴起，导致数据存储量急剧增加，提升数据的操作效率就变得尤为关键。

大部分数据库的索引都采用树的结构存储，这是因为树的查询效率相对较高，且保持有序。

对于二叉搜索树的时间复杂度是O(logN)，在算法以及逻辑上来分析，二叉搜索树的查找速度以及数据比较次数都是较小的。

但是我们不得不考虑一个新的问题。

数据量是远大于内存大小的，那我们在查找数据时并不能将全部数据同时加载至内存。既然不能全部加载至内存中就只能逐步的去加载磁盘中某个页，简而言之就是逐一的去加载磁盘，加数据分块的加载至内存进行查找与比较。

例如：在图1.1所示的树中查找10，树中的每个节点代表一个磁盘页。每次访问一个新节点代表一次磁盘IO。

通过查找过程可以看出，磁盘IO次数与树的高度相关，在最坏情况下，磁盘IO次数等于树的高度。由于磁盘IO过程是相对耗时效率较低的，因此，在设计数据存储结构时需要降低树的高度，即将一棵“瘦高”的树变得“矮胖”。

当数据数目相同，在保持有序前提下，降低树高度，只需将节点中存储的key值增加，即二叉搜索树中每个节点只有一个key，现将一个节点中存储多个key，得到的树即为B树。

2 定义

B树也称B-树,B-树直接读作B树，不能因为有“-”号就读作B减树，它是一颗多路平衡查找树。我们描述一颗B树时需要指定它的阶数，阶数表示了一个结点最多有多少个孩子结点，一般用字母m表示阶数。当m取2时，就是我们常见的二叉搜索树，m为3时是2-3树。

一颗m阶的B树定义如下：

(1)每个结点最多有m-1个关键字。
(2)根结点最少可以只有1个关键字。
(3)非根结点至少有Math.ceil(m/2)-1个关键字。Math.ceil(m/2)含义是向上取整。例如Math.ceil(4.5) = 5。
(4)每个结点中的关键字都按照从小到大的顺序排列，每个关键字的左子树中的所有关键字都小于它，而右子树中的所有关键字都大于它。
(5)所有叶子结点都位于同一层，或者说根结点到每个叶子结点的长度都相同。

3 查找

B-树的查找其实是对二叉搜索树查找的扩展，与二叉搜索树不同的地方是，B-树中每个节点有不止一棵子树。在B-树中查找某个结点时，需要先判断要查找的结点在哪棵子树上，然后在结点中逐个查找目标结点。B树的查找过程相对简单，与二叉搜索树类似，因此不再赘述。

4 插入

B树的插入操作是指在树种插入一条新记录，即(key, value)的键值对。如果B树中已存在需要插入的键值对，则用需要插入的value替换旧的value。若B树不存在这个key，则一定是在叶子结点中进行插入操作。

4.1 插入流程

B树的插入流程如下：
(1)根据要插入的key的值，对B树执行查找操作，查找到待插入数据的当前节点位置。
(2)判断当前结点key的个数是否小于等于m-1，若满足，则结束直接插入数据，否则，进行第(3)步。
(3)以结点中间的key为中心分裂成左右两部分，然后将这个中间的key插入到父结点中，这个key的左子树指向分裂后的左半部分，这个key的右子支指向分裂后的右半部分，然后将当前结点指向父结点，继续进行第(3)步。

4.2 实例图解

下面以5阶B树为例，介绍B树的插入操作，在5阶B树中，结点最多有4个key,最少有2个key。

插入图解：1：插入38，此时为空树，直接插入，并作为根节点。继续插入22、76、40，符合情形(2)，直接插入。继续插入51，符合情形(3)，执行分裂。

2：按照相同的步骤继续插入13、21。插入39，符合情形(3)，导致节点分裂。选择中值22作为父节点，并将22节点上移，与40节点进行合并。

3：按照同样的插入规则，继续向树中插入key为30、27、33、36、35、34、24、29的数据。插入完成后，继续插入key为26的数据，插入之后需要执行节点分裂。

4：将key为27的数据节点上移至父节点，此时父节点已经有4个key，插入key27的数据后需要执行节点分裂。在插入key为26的数据后，导致根节点发生分裂，树的高度加1。

4.3 性能分析

B树插入过程首先需要执行一次查找操作，B树的查找操作的时间复杂度为O(mlogmn)。其中m为B树的阶数，n为B树中key的数目。在插入过程，最耗时的情形即为：插入数据后导致根节点发生分裂，分裂节点的操作是常数级，分裂操作向上回溯的时间复杂度为O(h)。因此，B树的插入操作的时间复杂度近似于查找操作，即O(mlogmn)。

5 删除

5.1 删除流程

B树的删除流程如下：
(1)如果当前需要删除的key位于非叶子结点上，则用后继key(这里的后继key均指后继记录的意思)覆盖要删除的key，然后在后继key所在的子支中删除该后继key。此时后继key一定位于叶子结点上，这个过程和二叉搜索树删除结点的方式类似。删除这个记录后执行第2步
(2)该结点key个数大于等于Math.ceil(m/2)-1，结束删除操作，否则执行第(3)步。
(3)如果兄弟结点key个数大于Math.ceil(m/2)-1，则父结点中的key下移到该结点，兄弟结点中的一个key上移，删除操作结束。否则，将父结点中的key下移与当前结点及它的兄弟结点中的key合并，形成一个新的结点。原父结点中的key的两个孩子指针就变成了一个孩子指针，指向这个新结点。然后当前结点的指针指向父结点，重复第(2)步。