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情人节来临之际#xff0c;广大直男#xff08;女#xff09;同胞在给异性朋友选购礼物时会遇到难题——什么才是礼物好坏最重要的标准#xff1f;基于层次分析法AHP进行计算#xff0c;得出最高权重的指标#xff0c;给出各位朋友选购礼物的一种思…问题背景
情人节来临之际广大直男女同胞在给异性朋友选购礼物时会遇到难题——什么才是礼物好坏最重要的标准基于层次分析法AHP进行计算得出最高权重的指标给出各位朋友选购礼物的一种思路指导大家选到更为贴切的礼物。
使用模型
AHP层次分析法
反思与总结 AHP算法的主观性还是很强虽然较直男的主观臆断来说相对好些但在构造判断矩阵时的主观臆断很难规避。另外对于性别、职业等问题AHP的局限性更加明显。解决方法就是在大量的调查数据中取平均构造尽可能客观的判断矩阵。 目录
一.指标确定建立准则层
二.权值确定
三.举例验证建立方案层
四.AHP的理论知识
五.MATLAB代码实现 一.指标确定建立准则层
(1)问题分析
学生党在给自己的couple挑选礼物时需要考虑哪些主要方面根据知乎、b站、抖音等自媒体平台和知网上面的相关文献得出以下几个比较主要的考虑指标 实用性纪念价值心意价位外观主权“有个人身份的象征标志如戒指上面刻字”他她的喜好 …………等 为了便于统计分析选取其中“心意、价位、实用性、喜好”四项作为本次分析的指标。
接下来我们将计算各种指标的权值具体有如下三种方式 笔者角度作为0.5倍的直男对指标进行打分统计分析分别统计100个男生、女生对权重的打分取平均值进行层次分析法思想实现分而治之对各种指标两两比较理性计算权值 如上三种统计方式中 对于男性按照0.1、0.10.8的权重再取各自的加权计算最终指标的权重。对于女性由于笔者是男性出于减少主观性的角度考虑第一项和第三项均无法计算直接按照第二项——问卷取平均分即可。 (2)对于男性
1.笔者自己赋予的权重
根据笔者的直男思想赋予如下表中的权值 2.统计分析13位男生
由于调查方式有限本次调查仅获取到13位男生的想法为了保证结果的严谨性首先对异常值进行剔除最后有11名男生的数据认为真实有效并使用算术平均计算各项的均分结果经可视化处理后如下 3.层次分析法思想 原理 如果一次性考虑全部四个指标往往会考虑不周如果我们采取分而治之的思想两两比较最终根据结果推算权重相比之下会周到很多。 局限性 出于笔者自身角度考虑故赋予权值时主观性仍然很强。 优化方法调查问卷取平均不过该方法比较专业化面向大众调查时统计数据由一定的难度。 4.具体实现步骤 首先给出两两比较的重要程度表 进行判断根据组合数原理C(4,2)一共需要比较6次。 如下图黄色越深代表越重要蓝色越深代表越不重要 上图得到的结果即为层次分析法中的判断矩阵。 判断矩阵的一致性检验 在层次分析法的判断矩阵中可能会出现这样的问题不一致现象。 我们做出如下假设A代表心意B代表价位C代表实用性。 在矩阵中的2,1号元素我们发现A之于B的重要程度为5——即心意远大于价位这件事是正确的。假设此时3,1号元素的值也为1则有AC成立——即心意和实用性一样重要。但当我们观察2,3号元素会发现实用性之于价位的重要程度为2与心意之于价位的重要程度是不相同的我们把这样的矛盾称为不一致现象。 在层次分析法中有如下的定义若判断矩阵为完全一致矩阵则必有mn的元素与nk的元素相乘的结果与mk中的元素值相等。 且很容易得出结论一致矩阵的行和列之间是成倍数关系的。 在层次分析法中的要求各指标形成的判断矩阵必须一致才可以进一步计算各指标的权值。然而结合实际问题与主观因素的影响构造绝对的一致性矩阵往往是不现实的。 因此我们采用一致性检验。所谓一致性检验就是检查真实构造出的判断矩阵和一致性矩阵是否有较大差距。原理大致如下这里不予证明。 使用MATLAB计算本文中判断矩阵的最大特征值结果为4.1580代码段在附录之中。 接下来开始一致性检验步骤不再赘述大致如下 经计算CR的值为0.5918因为CR0.1所以上述判断矩阵未经过一致性检验需要对判断矩阵进行修正上述情况也一定程度体现出了AHP方法的局限性。 后经过6次修改得到崭新的判断矩阵如下图。 上述判断矩阵的一致性比例是0.05980.1故我们可以认为其满足一致性检验且上述矩阵为真正使用的矩阵。 计算各项指标的权值 在满足一致性检验之后即可对判断矩阵进行加权的计算。在计算加权时我们有三种计算方法分别是算术平均法、几何平均法以及特征值法为了保证结果的严谨性此处的三种计算方式将全部使用。此外无论哪种计算权重的方法在计算前先要对判断矩阵进行归一化处理。 经MATLAB计算归一化处理的矩阵为上图。 接下来分别使用三种方式计算4项指标各自的权重 算术平均法 根据MATLAB软件计算得权重为以下值 指标 权值 心意 0.4091 价位 0.0825 实用性 0.1585 喜好 0.3499 几何平均法 根据MATLAB软件计算得权重为以下值 指标 权值 心意 0.4094 价位 0.0827 实用性 0.1581 喜好 0.3498 特征值法 根据MATLAB软件计算得权重为以下值 指标 权值 心意 0.4098 价位 0.0824 实用性 0.1579 喜好 0.3499 综上所述三种方式求得的指标权值如下表所示 指标 算术平均法 几何平均法 特征值法 心意 0.4091 0.4094 0.4098 价位 0.0825 0.0827 0.0824 实用性 0.1585 0.1581 0.1579 喜好 0.3499 0.3498 0.3499 从上表可以看出三种方法求得的权值近乎相同这与一致性指标较小——即矩阵一致性较强有关。这里我们采用进一步的算术平均法为三种方式赋予相同的权重计算最后的指标权重如下图 指标 AHP法权值 心意 0.4094 价位 0.0825 实用性 0.1582 喜好 0.3499 总和 1.0000 上表即为层次分析法APH所求得的指标权值。 (3)对于女生
由于笔者是男生所以无法通过方法一及方法三计算权值只能通过搜集问卷来统计分析。
问卷中调查了120位给出的结果在去除异常值后得到如下的权值分布此处的饼图按照整数制作具体数值在之后会给出 二.权值确定
对于男生三种方式的计算结果分别如下 指标 直男主观臆断 调查统计 层次分析法AHP 心意 0.5 0.38 0.4094 价位 0.1 0.26 0.0825 实用性 0.15 0.13 0.1582 喜好 0.25 0.23 0.3499 权值 0.1 0.1 0.8
则最终得到的男生选礼物时的权重为 指标 最终权值 心意 0.4035 价位 0.1028 实用性 0.1545 喜好 0.3402
对于女生直接按照统计结果即可得出各项指标的权重。 指标 最终权值 心意 0.3208 价位 0.2025 实用性 0.2009 喜好 0.2758
三.举例验证建立方案层
在问卷中笔者还调查了两性在送另一半礼物时典型的几种选择归纳整理后大致如下各四类 男生 零食首饰类小玩偶护肤化妆品 女生 自己亲手做的一类物品画画蛋糕等衣服游戏体育用品 1.男生选择礼物的最佳方案
对于男生我们采用上述四种礼物作为方案层计算各项指标的得分。
首先我们使用同样的方式建立各种物品在4种指标下的权重并建立判断矩阵并用MATLAB检验是否满足一致性代码部分同样在附录之中。
为了节约篇幅此处直接给出经计算过后的结果 用CR1CR2CR3CR4个变量分别代表四个判断矩阵的一致性指标计算结果如下 一致性指标 结果大小 CR1 0.0790 CR2 0.0536 CR3 0.0667 CR4 0.0380
由于4个一致性指标均小于0.1则可认为上述4个判断矩阵均满足一致性。
接下来计算判断矩阵中的各项权值计算结果如下表 心意 权值 零食 0.0759 首饰类 0.4428 小玩偶 0.2310 化妆品 0.2503 价位 权值 零食 0.5235 首饰类 0.0959 小玩偶 0.2951 化妆品 0.0856 实用性 权值 零食 0.5478 首饰类 0.1276 小玩偶 0.0751 化妆品 0.2496 喜好 权值 零食 0.1402 首饰类 0.5192 小玩偶 0.0810 化妆品 0.2596
计算完权值后接下来将计算各个选择方案的得分对应得分与权值相乘后再*100后得到最终得分
如下表 指标 权值 零食 首饰类 小玩偶 化妆品 心意 0.4035 0.0759 0.5235 0.5478 0.1402 价位 0.1028 0.4428 0.0959 0.1276 0.5192 实用性 0.1545 0.2310 0.2951 0.0751 0.0810 喜好 0.3402 0.2503 0.0856 0.2496 0.2596 得分 ------- 19.698705 17.179195 34.253791 21.393074
根据上表可以得知从男生送礼物的角度考虑小玩偶是最合适的选择。
2.女生选择礼物的最佳方案:
由于笔者为男性此处出于客观性考虑无法建立判断矩阵故女生的最佳选择这里不予以计算。
四.AHP的理论知识 1.建立层次结构
在本次模型建立过程中目标层——即最终解决的问题是出于自身情况考虑哪种礼物更适合送给异性准则层的4项指标则是出于送礼物时需要考虑的方向。目标层的4个元素是在统计分析后抽取出的典例用于计算得分后给出最佳方案。故对于男生建立的层次结构如下图所示 对于女生出于客观性考虑本次不建立层次结构只给出大众化的一个考虑指标权重。
2.构造判断矩阵
对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较构造两两比较矩阵判断矩阵。
本文之前已经给出了准则层与方案层各个元素的判断矩阵这里不再赘述。
3.计算指标权值
构造出一致性判断矩阵后对结果进行计算计算方式为方案层判断矩阵得分乘以准则层判断矩阵权值此处同样省略计算步骤。
4.计算最终得分得出目标层
根据计算结果选择得分最高的一项作为目标层的结果。本文中男生选礼物的最佳方案为小玩偶。
五.MATLAB代码实现
直接整合到一起了大家根据注释自行阅读~
%%1.首先计算最大特征值 X [1,5,3,0.333;0.2,1,0.5,0.2;0.333,2,1,0.333;3,5,3,1];
[V,D] eig(X);
% 求出A的特征值矩阵D和特征向量V
max_eigmax(max(D));
%获得最大特征值max_eig(拉姆达)4.1580
%%2.计算相关变量并完成一致性检验
CI (max_eig - 4) / (4-1);
%%计算一致性指标CI此处n的值为4
RI0.089;
%查表得到随机平均一致性指标本次总共有4个决策元素即挑选礼物的指标
%查表得知n4时RI0.089
CRCI/RI;
%计算一致性指标
%CR0.5918第一次写出的判断矩阵未通过一致性检验故需要对判断矩阵进行修正。
Y[1 5 3 1;
0.2 1 0.5 0.25;
0.3333 2 1 0.5;
1 4 2 1;
];
[VN,DN] eig(Y);
max_eigNmax(max(DN));
CIN (max_eigN - 4) / (4-1);
RIN0.089;
CRNCIN/RIN;
%CR1的值为0.0580符合一致性检验
%%3.对矩阵进行归一化处理每一个元素除以其所在列的和
Sum_Y sum(Y);
[~,n] size(Y);
SUM_Y repmat(Sum_Y,4,1);
%%定义矩阵Stand_Y即为最后的归一化处理矩阵。
Stand_Y Y ./ SUM_Y;
%%4.算术平均法计算权重
disp(算术平均法求权重的结果为);
disp(sum(Stand_Y,2)./4);
%%5.几何平均法计算权重
Prduct_Y prod(Y,2);
Prduct_4_Y Prduct_Y .^ (1/4);
disp(几何平均法求权重的结果为);
disp(Prduct_4_Y ./ sum(Prduct_4_Y));
%%6.特征值法求权重
[a,b] eig(Y);
Max_eigN2 max(max(b));
[r,c]find(b Max_eigN2 , 1);
disp(特征值法求权重的结果为);
disp( a(:,c) ./ sum(a(:,c)) );
%%7.对四个方案层的元素分别构造判断矩阵并计算权值
%1号矩阵
X1 [1 0.2 0.3333 0.25; 5 1 2 2; 3 0.5 1 1; 4 0.5 1 1;
];
[V1,D1] eig(X1);
max_eig1max(max(D1));
CI1 (max_eig1 - 4) / (4-1);
RI10.089;
CR1CI1/RI1;
Sum_X1 sum(X1);
[~,n] size(X1);
SUM_X1 repmat(Sum_X1,4,1);
Stand_X1 X1 ./ SUM_X1;
disp(1号矩阵算术平均法求权重的结果为);
disp(sum(Stand_X1,2)./4);
%2号矩阵 X2 [1 5 2 6;
0.2 1 0.333 1;
0.5 3 1 4;
0.1667 1 0.25 1;
];
[V2,D2] eig(X2);
max_eig2max(max(D2));
CI2 (max_eig2 - 4) / (4-1);
RI20.089;
CR2CI2/RI2;
Sum_X2 sum(X2);
[~,n] size(X2);
SUM_X2 repmat(Sum_X2,4,1);
Stand_X2 X2 ./ SUM_X2;
disp(2号矩阵算术平均法求权重的结果为);
disp(sum(Stand_X2,2)./4);
%3号矩阵 X3 [1 5 7 2; 0.2 1 2 0.5;
0.1429 0.5 1 0.3333;
0.5 2 3 1;
];
[V3,D3] eig(X3);
max_eig3max(max(D3));
CI3 (max_eig3 - 4) / (4-1);
RI30.089;
CR3CI3/RI3;
Sum_X3 sum(X3);
[~,n] size(X3);
SUM_X3 repmat(Sum_X3,4,1);
Stand_X3 X3 ./ SUM_X3;
disp(3号矩阵用算术平均法求权重的结果为);
disp(sum(Stand_X3,2)./4);
%4号矩阵
X4[ 1 0.25 2 0.5;
4 1 6 2;
0.5 0.1667 1 0.333;
2 0.5 3 1;
];
[V4,D4] eig(X4);
max_eig4max(max(D4));
CI4 (max_eig4 - 4) / (4-1);
RI40.089;
CR4CI4/RI4;
Sum_X4 sum(X4);
[~,n] size(X4);
SUM_X4 repmat(Sum_X4,4,1);
Stand_X4 X4 ./ SUM_X4;
disp(4号矩阵用算术平均法求权重的结果为);
disp(sum(Stand_X4,2)./4); 结束语本贴旨在通过该例说明AHP的思想在选择礼物时要结合具体情况谨慎考虑避免雷区~
